Filozofie matematiky

Filozofie matematiky je odvětví filozofie, která studuje filozofické předpoklady, základů a důsledků matematiky.

Opakující se témata obsahují:

Nepřehlédněte: Tato stránka obsahuje strojový překlad textu z anglické encyklopedie Wikipedia. Pokud budou některé pasáže špatně srozumitelné, zkuste se podívat i na text v originále, který najdete pod odkazem Philosophy of mathematics. Překlad byl vytvořen pomocí překladače Eurotran.

Co jsou zdroje matematické podstaty?
Co je ontologický stav matematických entit?
Co to chce se odkazovat na matematický objekt?
Co je charakter matematického problému?
Co je vztah mezi logikou a matematikou?
Co je role hermeneutics v matematice?
Jaké druhy dotazu hrají roli v matematice?
Co jsou cíle matematického dotazu?
Co dá matematice jeho kontrolu nad zážitkem?
Co jsou lidské vlastnosti vzadu matematika?
Co je matematická krása?
Co je zdroj a povaha matematické pravdy?
Co je vztah mezi abstraktním světem matematiky a materiální vesmír?
Je matika absolute a univerzální jazyk? (toto bylo běžné téma v žánru sci-fi)

Požadavky filozofie matematiky a matematická filozofie být často používaný jako synonyma. Latter, nicméně, smět být používán mínit přinejmenším tři jiné věci. Jeden smysl se odkazuje na projekt formovat filozofické téma, říkat, estetika, etika, logika, metafyzika, nebo teologie, v purportedly přesnější a pečlivá forma, jak například pracuje Scholastic bohoslovci, nebo systematické cíle Leibniz a Spinoza. Další smysl se odkazuje na pracovní filozofii praktika jednotlivce nebo stejně smýšlející společenství praktických matematiků. Dále, někteří rozumějí termínu matematická filozofie být narážka na přístup zaujatý Bertrand Russell v jeho knize Úvod do matematické filozofie.

Historický přehled

Mnoho myslitelů přispělo s jejich myšlenkami ohledně povahy matematiky. Dnes, někteří filozofové matematiky chtějí poskytnout vysvětlení této formy dotazu a jeho produktů jak oni stojí, zatímco jiní zdůrazňují roli pro sebe to přesahuje jednoduchý výklad ke kritickému rozboru. Tam jsou tradice matematické filozofie v jak západní filozofii tak Eastern filozofii. Západní filozofie matematiky jdou jak daleko couvají jako Plato, kdo studoval ontologický stav matematických objektů, a Aristotle, kdo studoval logiku a záležitosti příbuzné nekonečnu (skutečný proti potenciálu). Řecká filozofie na matematice byla silně ovlivňována jejich studií o geometrii. Například, najednou, Řeci zastávali názor to 1 (jeden) nebyl číslo, ale poněkud jednotka libovolné délky. Číslo bylo definováno jako množství. Proto 3, například, reprezentoval jisté množství jednotek, a byl tak ne “opravdově” číslo. Na dalším místě, podobný argument byl dělal to 2 byl ne číslo ale základní ponětí o páru. Tyto pohledy přijdou z těžce geometrický rovný-okraj-a-hledisko kompasu Řeků: jen jak linky kreslené v geometrickém problému jsou změřeny v poměru k první libovolně natažené lince, tak příliš jsou čísla na číselném příjmu uměřená v proporcionální k libovolný nejprve “číslo” nebo “jeden.” tyto dříve řecké myšlenky na čísla byly později převrácené objevem nerozumnosti druhé odmocniny dva. Hippasus, učedník Pythagoras, ukázal, že úhlopříčka čtverce jednotky byla nesouměřitelná s jeho (jednotka-délka) okraj: jinými slovy on ukázal se tam bylo žádné existování (rozumné) číslo, které přesně zobrazí podíl úhlopříčky čtverce jednotky k jeho okraji. Toto způsobilo významné znovuvyhodnocení řecké filozofie matematiky. Podle legendy, kolega Pythagoreans byl tak traumatizován tímto objev, že oni zavraždili Hippasus zabránit němu v šíření jeho kacířské myšlenky. Nápady Řeka zůstaly dominantní až do 17. století. U tohoto času a začátku se Leibniz, fokus posunul se silně ke vztahu mezi matematikou a logikou. Tento pohled ovládal filozofii matematiky přes čas Frege a Russella, ale byl přinesen do otázky vývoji v pozdní 19th a brzy 20. století.

Filozofie matematiky v 20. století

Věčná otázka ve filozofii matematiky se dotýká vztahu mezi logikou a matematiky u jejich společných základů. Zatímco 20. staletí filozofové pokračovali se zeptat otázky zmínily se o na počátku tohoto článku, filozofie matematiky v 20. století byla charakterizována převládajícím zájmem na formální logice, teorii množin a foundational záležitostech.

To je hluboká hádanka to na jednu stranu matematické pravdy vypadají, že má přesvědčivou nevyhnutelnost, ale na druhé straně zdroj jejich “pravdivosti” zůstane nepolapitelný. Vyšetřování této záležitosti jsou známá jako založení programu matematiky.

U startu 20. století, filozofové matematiky už začali se rozdělit na různé názorové školy o všech těchto otázkách, široce význačný jejich obrazy matematické epistemologie a ontologie. Tři školy, formalizmus, intuitionism, a logicism, se objevil v tomto okamžiku, částečně v odezvě na zvýšeně rozšířenou starost ta matematika jako to stála, a analýza zvláště, nedosáhl standardů jistoty a přísnosti to bylo zaujaté za samozřejmost. Každá škola oslovila záležitosti, které přišly k na přídi v té době, jeden pokoušet se rozdělit je nebo prohlašovat, že matematika není oprávněná k jeho stavu jak naše nejvíce věřily znalosti.

Překvapující a pult-intuitivní vývoje v formální logika a teorie množin brzy v 20. století vedl k novým otázkám ohledně čeho byl tradičně nazvaný založení matematiky. Jak století rozvinulo se, počáteční ohnisko znepokojení expandovalo k otevřenému zkoumání základních axiómů matematiky, axiomatický přístup mít been zaujatý za samozřejmost od času Euclid asi 300 BCE jako přirozené východisko pro matematiku. Pojmy axióm, problém a důkaz, stejně jako ponětí o problému být pravdivý matematického objektu (vidět Domácí cvičení (formální logika)), byl formován, dovolit jim být zpracovaný matematicky. Zermelo-Fraenkel axiómy pro teorii množin byly vytvořeny který stanovil koncepční rámec ve kterém hodně matematickém pojednání by byl interpretovaný. V matematice jak ve fyzice, nové a neočekávané nápady arisen a závažné změny přišly. S Gödel číslování, problémy mohly být interpretovány jako odkazování k sobě nebo jiné problémy, umožňovat dotaz do hustota matematických teorií. Tento přemítavý posudek ve kterém teorie pod recenzí “stane se sebou předmět matematického studia” vedl Hilbert volat takové studium metamathematics nebo teorie důkazu.

U středu století, nová matematická teorie známá jako teorie kategorie vyvstávala jako nový uchazeč o přirozený jazyk matematického myšlení (Mac Lane 1998). Jak 20. století postupovalo, nicméně, filozofické názory se lišily jak k jen jak odůvodněný byly otázky o základech, které byly zvýšeny u jeho otevření. Hilary Putnam představoval jeden obyčejný pohled na situaci v poslední třetině století pořekadlem:

Když filozofie objeví něco špatně s vědou, někdy věda musí být měněn — Russellův paradox přijde k mysli, jako laně Berkeley je útok na skutečný nekonečně malý — ale více často to je filozofie, která musí být měněn. Já nemyslím si, že obtíže že filozofie objeví se klasickou matematikou dnes být ryzí obtíže; a já myslím si, že filozofické výklady matematiky že my jsme nabídnuti při každé ruce být špatný, a ten “filozofický výklad” je jen jaká matematika nepotřebuje. (Putnam, 169-170).

Filozofie matematiky dnes pokračuje podél několika různých řad dotazu, filozofy matematiky, logici, a matematici, a tam je mnoho myšlenkových směrů na téma. Školy jsou osloveny odděleně v příští sekce a jejich předpoklady vysvětlovali.

Současné myšlenkové směry

Matematický realismus

Matematický realismus, jako realismus oběcně, si myslí, že matematické entity existují nezávisle na lidském rozumu. Tak lidé nevynalezou matematiku, ale poněkud objevit to, a nějaké jiné inteligentní bytosti ve vesmíru by pravděpodobně dělaly stejný. V tomto stanovisku, tam je opravdu jeden druh matematiky, která může být objevena: Trojúhelníky, například, jsou skutečné entity, ne vytvoření lidské mysli.

Mnoho pracovních matematiků bylo matematičtí realisti; oni vidí sebe jako objevitelé přirozeně nastávajících objektů. Příklady zahrnují Paula Erdős a Kurt Gödel. Gödel věřil v cíl matematická realita, která mohla být povšimla si ve způsobu analogickém s vnímáním smyslu. Jisté principy (např., pro nějaké dva objekty, tam je sbírka objektů sestávat z přesně ty dva objekty) mohl být přímo viděný být pravdivý, ale některé dohady, jako hypotéza kontinua, směl ukázat se undecidable spravedlivý na východisku pro takové principy. Gödel navrhl, že kvazi-empirická metodologie mohla být používána poskytovat dostatečný důkaz být schopný rozumně přijmout takový dohad.

Uvnitř realismu, tam rozdíly závisí na jakém druhu existence jeden vezme matematické entity mít, a jak my víme o nich.

Platonism

Platonism je forma realismu, který navrhne, že matematické entity jsou abstraktní, mít žádné spatiotemporal nebo příčinné vlastnosti, a být věčný a neměnný. Toto je často prohlašoval, že je pohled nejvíce lidé mají čísel. Termín Platonism je používán protože takový pohled je viděn k protějšku Plato' s víra v “svět nápadů” (znázorněný Platova jeskyně): každodenní svět může jen imperfectly přibližný neměnný, konečná realita. Oba Platova jeskyně a Platonism mít významný, ne spravedlivá povrchní spojení, protože Platovy nápady byly předcházeny a pravděpodobně ovlivnil obrovsky populární Pythagoreans starověkého Řecka, kdo věřil, že svět byl, docela doslovně, vytvořený čísla.

Hlavní problém matematického platonism je toto: přesně kde a jak matematické entity existují, a jak my víme o nich? Je tam svět, kompletně se oddělit od naší lékařské prohlídky jeden, to je obsazené matematickými entitami? Jak můžeme získat přístup k tomuto oddělenému světu a zjistit pravdy o entitách? Jedna odpověď by mohla být Ultimate soubor, který je teorie, která postuluje všechny struktury, které existují matematicky také existovat fyzicky v jejich vlastním vesmíru.

Plato mluvil o matematice:

Jak vy míníte
?
Chci říct, jak já jsem říkal, ta aritmetika má velmi velký a zvedat účinek, nutit duši k důvodu o čísle souhrnu, a se bouřit proti zavedení viditelných nebo hmatatelných objektů do argumentu. Vy víte to jak pevně mistři umění zapuzují a zesměšňují některého jeden kdo pokouší se rozdělit absolutní jednotu, když on je vypočítavý, a jestliže vy se dělíte, oni násobí, dávat pozor to jeden muset pokračovat v jednom a ne stát se ztracený v zlomkách
.
To je velmi pravdivé
.
Nyní, předpokládat osobu byl říkat k nim: O moji přátelé, co jsou tito báječná čísla o kterém vy jste úvaha, ve kterém, jak vy říkáte, tam je jednota takový jak vy se domáháte a každá jednotka je se rovnat, neproměnlivý, nerozdělitelný, -- co oni by odpověděli
?

— Plato, kapitola 7. “republika” (Jowell překlad).

V kontextu, kapitola 8, H.D.P. Lee překlad, ohlásí vzdělání filozofa obsahovat pět matematických disciplín:

1. aritmetický, zapsaný jednotkový zlomek ' části používá teoretické unities a čísla souhrnu.

2. planimetrie a prostorová geometrie také zvažovali linku být článkový do rozumné a nerozumné jednotky ' části ,

3. astronomie

4. harmonics

Překladatelé prací Plata bouřili se proti praktickým verzím matematiky praktické zkoušky jeho kultury. Nicméně, Plato sám a Řeci kopírovali 1,500 staršího Egyptského zlomku oddělit unities, jedno bytí hekat jednota olupovala k (64/64) v Akhmim Wooden tabletce, proto ne dobývání prohrálo v zlomkách.

Gödel platonism postuluje zvláštní druh matematické intuice, která nechá nás si všimnout matematické objekty přímo. (tento pohled má podobnosti k mnoha věcem Husserl říkal o matematice a podporách Kant názor, že matematika je syntetická priori.) Davis a Hersh navrhl v jejich knize matematická zkušenost, že nejvíce matematici jednají, zatímco ačkoli oni jsou Platonists, dokonce ačkoli, jestliže tiskl bránit postavení opatrně, oni mohou ustoupit do formalizmu (vidět dolů).

Někteří matematici drží názory, které se rovnají více nuanced verzím Platonism. Tyto nápady jsou někdy popisovány jako Neo-Platonism.

Logicism

Logicism je teze ta matematika je reducible k logice, a od této doby nic ale díl logiky (Carnap 1931/1883, 41). Logicists si myslí, že matematika může být známá priori, ale navrhnout, že naše znalost matematiky je jen část naší znalosti logiky obecně, a je tak analytický, ne vyžadovat nějakou zvláštní schopnost matematické intuice. V tomto pohledu, logika je pořádné založení matematiky a všech matematických sdělení jsou nutné logické pravdy.

Rudolf Carnap (1931) představuje logicist tezi ve dvou částech:

Představy o matematice mohou být odvozeny z logických pojetí přes explicitní definice.
Teorémy matematiky mohou být odvozeny z logických axiómů přes čistě logické odečtení.

Gottlob Frege byl zakladatel logicism. V jeho klíčový umřít Grundgesetze der Arithmetik (základní zákony aritmetiky) on stavěl aritmetiku od systému logiky s obecným principem chápání, který on volal “základní zákon V” (pro pojetí F a G, rozšíření F rovná se rozšíření G jestliže a jediný jestliže pro všechny objekty, Fa jestliže a jediný jestliže Ga), princip, který on si oblíbil být přijatelný jako součást logiky.

Frege stavba byla vadná. Russell objevil, že Basic právo V je rozporuplný. (toto je Russellův paradox.) Frege opustil jeho program logicist brzy po tomto, ale to bylo pokračoval Russellem a Whitehead. Oni připisovali paradox “zlému circularity” a stavěli co oni volali rozvětvenou typovou teorii k dohodě s tím. V tomto systému, oni byli nakonec schopní vybudovat hodně moderní matematiky ale v se změnil, a přílišně komplexní, forma (například, tam byla různá přirozená čísla v každém typu a tam bylo nekonečně mnoho typů). Oni také museli dělat několik kompromisů v rozkazu vyvíjet se tolik matematiky, takový jako “axióm reducibility”. Dokonce Russell říkal, že tento axióm opravdu nepatřil k logice.

Moderní logicists (jako Bob Hale, Crispin Wright, a možná jiní) se vrátili k programu bližší k Frege . Oni mají opuštěný Basic právo V v prospěch principů abstrakce takový jako princip Humea (množství objektů spadat pod pojetí F se rovná množství objektů spadat pod pojetí G jestliže a jediný jestliže rozšíření F a rozšíření G moci být dán do osobní korespondence). Frege požadovaný Basic právo V být schopný dát explicitní definice čísel ale všech vlastností čísel může být odvozena z principu Humea. Toto odkázaný ne byli dost pro Frege protože (parafrázovat jej) to nevyřadí možnost, že číslo 3 je ve skutečnosti Julius Caesar. Navíc, mnoho z oslabených principů, že oni museli adoptovat nahradit Basic právo V už ne se zdát tak zřejmě analytický, a tak čistě logický.

Jestliže matematika je část logiky, pak otázky o matematických objektech sesadí na otázky o logických objektech. Ale co, jeden by mohl se zeptat, jsou předměty logických pojetí? V tomto smyslu, logicism může být viděn jako posunující se otázky o filozofii matematiky k otázkám o logice bez úplně odpovídat jim.

Empirismus

Empirismus je forma realismu, který popírá, že matematika může být známá priori vůbec. To říká, že my objevíme matematické fakty empirickým výzkumem, úplně jako fakty v některém jiných věd. To není jedno klasický tři pozice obhajovaly v brzy 20. století, ale primárně vyvstával ve středu století. Nicméně, důležitý časný podpůrce pohledu jako toto byl mlýn Johna Stuarta. Millův pohled byl široce kritizován, protože to udělá prohlášení jako “2 + 2 = 4” vystoupit jako nejisté, závislé pravdy, který my můžeme jen se učit dodržujícími příklady dvou párů přicházet spolu a tvořit kvarteto.

Současný matematický empirismus, formuloval Quine a Putnam, je primárně podporován argumentem indispensability: matematika je nutná pro všechny empirické vědy, a jestliže my chceme věřit v realitu jevů popsaných vědami, my máme také věřit v realitu těch entit vyžadovaných pro tento popis. To je od té doby, co fyzika potřebuje mluvit o elektronech říkat proč žárovky se chovají jak oni dělají, pak elektrony musí existovat. Od potřeb fyziky k promluvě o číslech v nabídce některý jeho vysvětlení pak čísla musí existovat. V udržování s Quine a Putnamových celkových filozofiích, toto je naturalistický argument. To se zastává existence matematických entit jako nejlepší vysvětlení pro zážitek, tak zbavovat matematiku některých jeho distinctness od jiných věd.

Putnam silně odmítl termín “Platonist” jak implikovat příliš-specifická ontologie, která nebyla nutná pro matematickou praxi v nějakém skutečném smyslu. On obhajoval formu “čistého realismu” to odmítlo mystické názory pravdy a přijalo to hodně kvazi-empirismus v matematice. Putnam byl zapojený do kalibrování termín “čistý realismus” (vidět dolů).

Nejvíce důležitá kritika empirických pohledů na matematiku je přibližně stejná, zatímco to zvýšilo proti Millovi. Jestliže matematika je správná jak empirická jako jiné vědy, pak toto navrhne, že jeho výsledky jsou správné jak omylné jak oni, a spravedlivý jak závislý. V Millově případě empirické ospravedlnění přijde přímo, zatímco v Quine případě to přijde nepřímo, přes souvislost naší vědecké teorie jako celek, tj. consilience po E O Wilson. Quine navrhne, že matematika vypadá naprosto jistá protože role to hraje v naší síti víry je neuvěřitelně centrální, a že to by bylo extrémně obtížné pro nás revidovat to, ačkoli ne nemožný.

Pro filozofii matematiky to pokouší se překonat některé ty nedostatky Quine a Gödel přístupy beroucími aspekty každého vidí Penelope Maddyin realismus v matematice. Další příklad teorie realisty je ztělesněná myšlenková teorie (vidět dolů).

Pro experimentální důkaz navrhovat to jeden-den-staré děti mohou dělat základní aritmetiku, vidí Brian Butterworth.

Nový empirismus: Zpátky do budoucnosti

Nedávnější empirismus se vrátí k principu anglického empiricists 18. a 19. století, zvláště John Stuart mele, kdo tvrdil, že všechny znalosti přijdou k nám od pozorování přes smysly. Toto platí ne jediný k věcem fakta, ale také k “vztahy nápadů,” jak Hume volal je: struktury logiky který organizovat, interpretovat a odvádět pozorování.

K tomuto principu to přidá pojetí materialisty: Myšlenky, nápady, všechny procesy logiky který organizovat, interpretovat a odvádět pozorování, jsou fyzikální jevy, které zaberou místo v reálném čase a fyzický prostor: jmenovitě, v mozkách lidských bytostí. Abstraktní objekty, takové jak matematické objekty, jsou nápady, který podle pořadí existovat jako elektrické a chemické stavy miliard neurons v lidském mozku.

Toto druhé pojetí je typické pro společenský constructivist přístup, který si myslí, že matematika je produkována lidmi spíše než bytí “zjistilo” od souhrnu, priori pravdy. Nicméně, to liší se ostře od constructivist implikace, že lidi libovolně a tvořivě budovat matematické principy, které mají žádnou vlastní pravdu ale být pouze společenské konvence souhlasily se společností, která vynalezla je. Na opačný, nový empirismus naléhá ta matematika, ačkoli postavený lidmi, následuje pravidla a principy, které jsou dohodnuty na všichni kdo se účastnit procesu, s výsledkem to každý cvičit matematika přijde se stejnou odpovědí — kromě v těch oblastech kde tam je filozofická neshoda ohledně významu základních pojmů. Tato dohoda je fyzikální jev, být sledován jinými lidmi stejně to fyzikální jevy mají rád pohyby neživých těl nebo chemické vzájemné ovlivňování různých prvek je sledováno.

Kombinovat materialistu princip se Millsian epistemologií se vyhýbá principové potíži s empiricist principem, že všechny znalosti přijdou ze smyslů. Ta obtíž leží v postřehu, že matematické pravdy, založený na logické dedukci, vypadat, že je více jistě pravdivý než znalost fyzického světa — to je, svět u fyzického světa lidského mozku.

Kant dohadoval se o tom struktury logiky který organizovat, interpretovat a odvádět pozorování byl zastavěný do lidského rozumu a byl pravdivý a platný priori. Mill, na opačný, říkal, že my věříme jim být pravdivý protože my máme dost individuální příklady jejich pravdy zevšeobecnit: v jeho slovech, “od příkladů my jsme pozorovali to, my cítíme se zaručeně v zakončování to co my jsme objevili pravdivý v těch drženích příkladů ve všech podobné, minulost, dar a budoucnost, nicméně četný oni mohou být.” (systém logiky Ratiocinative a indukční, sebraná díla mlýna Johna Stuarta publikovala univerzitou Toronto tisk v roce 1973. Kniha II, kapitola vi, sekce 2 (Toronto vydání 1975, Vol.7, p. 254).

Pro většinu matematiků empiricist princip, že všechny znalosti přijdou ze smyslů vyvrací více základního pravidla: že matematické problémy jsou pravdivé nezávislý na hmotném světě. Všechno o matematickém problému je nezávislý na čem vypadá, že je fyzický svět. To všichni vezme místo v mysli. A mysl operuje neomylné principy deduktivní logiky. To není ovlivňované vnějšími vstupy od fyzického světa, zdeformovaný tím, že musí projít pokusným, závislým vesmírem smyslů.

Jestliže toto je pravdivé, pak kde smysly přijdou? Časné empiricists všichni klopýtli na tomto bodě. Hume tvrdil, že všechny znalosti přijdou ze smyslů, a pak rozdal míčovou hru kromě problémů souhrnu, který on volal “vztahy nápadů.” tito, on říkal, byl absolutně pravdivý (ačkoli matematici, kteří vymýšleli je, být člověk, směl dostat je špatný). Mill, na druhé straně, pokusil se popírat, že abstraktní myšlenky existují u hmotného světa: všechna čísla, on říkal, “muset být množství něčeho: nejsou tam žádné takové věci jako čísla v souhrnu.” když my počítáme do osm nebo sčítat pět a tři my jsme opravdu lžíce počítání nebo čmeláci. Toto je tak jasně falešný že on okamžitě začal klábosit. “všechny věci posednou kvantitu,” on říkal, tak že problémy ohledně čísel jsou problémy ohledně “všechny věci kterákoliv.” a on pak uznal, že numerické a algebraické výrazy nejsou nutně spojené s fyzickými předměty: oni “nerozrušují v našich nápadech myslí nějakých věcí zvláště.” Mill je nízká reputace jako filozof logiky a majetek minima empirismu ve století a polovina po něm, pochází z toto povolilo pokus spojit abstraktní myšlenky k hmotnému světu, když to je zřejmé, že abstrakce sestává se přesně oddělování myšlenka od jeho fyzických základů.

Tam je jiný způsob ven hádanky vytvořené naší jistotou, že abstraktní deduktivní problémy, jestliže platný (tj., jestliže my můžeme “ukázat se jako” je) být pravdivý, bez pozorování a testování ve fyzickém světě. Co jestliže myšlenky sám, a mysli, které vytvoří je, jsou fyzické předměty, existovat jediný ve fyzickém světě?

Nemnoho dekád dříve takový problém byl nemyslitelný. Dnes, ve světle neuroscientific výzkumu, velké množství pozorovatelů zvažovat to nepopiratelný. To je admittedly rušivý, zvyšovat mnoho otázek o lidských hodnotách jako studna jak odporovat většině náboženským vírám. Ale to je také osvobozující, ulevovat nás od obrovité knihovny hádanek a paradoxů, které jdou se zkoušením k conceptualize bezvýznamný svět mysli.

A to smíří rozpor mezi naší vírou v jistotu odečtení souhrnu a empiricist princip, že znalosti přijdou z pozorování individuálních příkladů. My víme, že Eulerova rovnice je pravdivá, protože pokaždé lidská mysl odvodí rovnici, to dostane stejný výsledek, ledaže to udělalo chybu, který je uznáván a korigoval. My pozorujeme tento jev a my extrapolujeme k obecnému návrhu, že to je vždy pravdivé.

Toto platí ne jediné fyzikální principy, jako zákon přitažlivosti, ale k jevům souhrnu že my pozorujeme to jen v lidských mozkách: v my a v těch jiní. Opravdu, samé principy logické dedukce jsou pravdivé, protože my poznamenáme, že používat je vede k opravdovým závěrům.

Formalizmus

Formalizmus si myslí, že matematická sdělení mohou být myšlenka jako prohlášení o důsledkách jistého řetězce manipulace rozhodne. Například, v “hře” Euclidean geometrie (který je viděn jak sestávat z některé řetězce volaly “axiómy” a některá “pravidla závěru” tvořit nové řetězce od daných), jeden může dokázat, že Pythagorova věta drží (to je, vy můžete tvořit řetězec odpovídající Pythagorově větě). Podle formalizmu, matematické pravdy nejsou o číslech a souborech a trojúhelníkách a jako — ve skutečnosti, oni nejsou “okolo” něco vůbec.

Další verze formalizmu je často známá jako deductivism. V deductivism, Pythagorova věta není absolutní pravda ale příbuzný jeden: jestliže vy přikládáte smysl k řetězcům v takový cesta že pravidla hry stanou se pravdivá (ie, pravdivá sdělení jsou přidělena do axiómů a pravidla závěru jsou pravda-konzervování), pak vy musíte přijímat teorém, nebo, poněkud, výklad vy jste dali to musí být pravdivé sdělení. Stejný je dodržován být pravdivý pro všechna jiná matematická sdělení. Tak, formalizmus nemusí znamenat tu matematiku je nic více než bezvýznamná symbolická hra. To je obvykle doufal, že to tam existuje nějaký výklad ve kterém pravidla hry drží. (přirovnávat tuto pozici k strukturalismu.) ale to přece dovoluje pracovního matematika pokračovat v jeho nebo ji pracovat a zanechávat takové problémy filozofovi nebo vědci. Mnoho formalists by říkalo, že v praxi, systémy axióma být studován bude být navrhnut požadavky vědy nebo ostatních oblastí matematiky.

Hlavní časný podpůrce formalizmu byl David Hilbert, jehož program byl zamýšlel být kompletní a souhlasný axiomatization všichni matematiky. (“souhlasný” tady znamená, že žádné rozpory mohou být odvozeny ze systému.) Hilbert chtěl ukazovat důslednost matematických systémů od předpokladu, že “aritmetika finitary” (podsystém obvyklé aritmetiky pozitivních celých čísel, volený být filosoficky uncontroversial) byl shodný. Hilbertovy branky vybudování systému matematiky, která je jak dokončená tak shodná byly rozděleny osudná rána sekundou Gödel incompleteness teorémy, který říká, že dostatečně výrazné souhlasné axiómové systémy mohou nikdy se ukázat jako jejich vlastní hustota. Od nějakého takového axióma systém by obsahoval aritmetiku finitary jak podsystém, Gödel teorém znamenal, že to by bylo nemožné se ukázat jako hustota systému vztažená k tomu (protože to by pak se ukázalo jako jeho vlastní hustota, který Gödel se ukázal byl nemožný). Tak, aby ukázal, že nějaký axiomatický systém matematiky je ve skutečnosti souhlasné, jedny potřeby nejprve převzít důslednost systému matematiky, která je v jistém smyslu silnější než systém být dokázaný shodný.

Hilbert byl zpočátku deductivist, ale, jak smět být jasný seshora, on zvažoval jisté metamathematical metody přinést skutečně významné výsledky a byl realista s úctou k aritmetice finitary. Pozdnější, on držel názor, že tam byla žádná jiná významná matematika whatsoever, bez ohledu na výklad.

Jiné formalists, takový jako Rudolf Carnap, Alfred Tarski a Haskell Curry, zvažoval matematiku být šetření formálních axiómových systémů. Matematičtí logici studují formální systémy ale jsou právě jak často realisti jak oni jsou formalists.

Formalists je relativně tolerantní a lákavý k novým přístupům k logice, nestandardní číselné systémy, nové teorie množin etc. Více her, které my studujeme, lepší. Nicméně, ve všech tři těchto příkladů, motivace je kreslena od existování matematická nebo filozofická znepokojení. “hry” jsou obvykle ne libovolný.

Hlavní kritika formalizmu je že skutečné matematické nápady, které zabírají matematiky jsou daleko odstraněny od řetězce hry manipulace zmínily se nahoře. Formalizmus je tak tichý k otázce kterého axióma systémy mají být studován, jak žádný je významnější než jiný od formalistic hlediska.

Nedávno, někteří formalist matematici navrhovali to všichni naše formální matematické znalosti by měly být systematicky zakódovány v počítači-čitelné formáty, aby usnadnil automatizované důkazové ověřování matematických důkazů a použití interaktivního teoréma zkušební ve vývoji matematických teorií a počítačovém softwaru. Protože jejich blízkého spojení s vědou o počítačích, tento nápad je také obhajován matematickým intuitionists a constructivists v “vypočitatelnosti” tradice (vidět dolů). Viďte QED projekt pro obecný přehled.

Intuitionism

V matematice, intuitionism je program metodologické reformy jehož heslo je to “nejsou tam žádné non-zažil matematické pravdy” (L.E.J. Brouwer). Od tohoto odrazového můstku, intuitionists snaží se rekonstruovat co oni zvažují být corrigible část matematiky v souhlasu s Kantian představami o bytí, slušivý, intuice, a znalosti. Brouwer, zakladatel hnutí, si myslel, že matematické objekty vynoří se z priori se tvoří volitions, které informují představu empirických objektů. (CDP, 542)

Leopold Kronecker říkal: “přirozená čísla přijdou od Boha, všechno jinde je mužská práce.” hlavní síla za Intuitionism byla L.E.J. Brouwer, kdo odmítl užitečnost formované logiky nějakého druhu pro matematiku. Jeho student Arend Heyting postuloval intuitionistic logiku, odlišný od klasické Aristotelian logiky; tato logika neobsahuje právo vyloučeného středa a proto se šklebí na důkazy rozporem. Axiom výběru je také odmítnut ve většině intuitionistic teoriích množin, ačkoli v některých verzích to je přijímáno. Důležitá práce byla později dělána Errett biskupem, kdo zvládal se ukázat jako verze nejvíce důležitých teorémů ve skutečné analýze v tomto rámci.

V intuitionism, termín “explicitní stavba” není čistě definovaná a to vedlo k kritikám. Pokusy byly předstíral, že použije představy Turing stroj nebo vypočitatelná funkce vyplnit tuto mezeru, vést k požadavku, který jen ptá se pozorovat chování konečných algoritmů být významný a should být vyšetřován v matematice. Toto vedlo ke studiu vypočitatelných čísel, nejprve představil Alan Turing. Ne překvapivě, pak, tento přístup k matematice je někdy spojený s teoretickou informatikou.

Constructivism

Jako intuitionism, constructivism zahrnuje regulative princip, že jediné matematické entity, které mohou jsou výslovně postavené v jistý smysl by měl být přijat do matematického projevu. V tomto pohledu, matematika je cvičení lidské intuice, ne hra hrála si s bezvýznamnými symboly. Místo toho, to je o entitách že my můžeme vytvořit přímo přes duševní aktivitu. Navíc, někteří přívrženci těchto škol odmítnou non-konstruktivní důkazy, takový jako důkaz rozporem.

Fictionalism

Fictionalism v matematika byla přinesena ke slávě v roce 1980, když Hartry pole publikovalo Science bez čísel, který odmítl a ve skutečnosti obrátil Quine indispensability argument. Kde Quine navrhl, že matematika byla nepostradatelná pro naše nejlepší vědecké teorie, a proto should být přijímán jako skupina pravd mluvit o nezávisle existujících entitách, pole navrhlo, že matematika byla postradatelná, a proto should být považován za skupinu klamů ne mluvit o čemkoli skutečný. On dělal toto tím, že dává kompletní axiomatization Newtonian mechaniky to se neodkazovalo na čísla nebo funkce vůbec. On začínal “betweenness” Hilbertových axiómů charakterizovat prostor bez coordinatizing to, a pak přidal zvláštní vztahy mezi body dělat zboží dříve vyráběné vektorovými poli. Hilbertova geometrie je matematická, protože to mluví o bodech souhrnu, ale v pole je teorie, tyto body jsou konkrétní body fyzického prostoru tak žádné zvláštní matematické objekty vůbec být potřebován.

Mít ukázaný jak dělat vědu bez matematiky používání, Field pokračoval rehabilitovat matematiku jako druh užitečné beletrie. On ukázal, že matematická fyzika je jeho rozšíření konzervativce non-matematická fyzika (to je, každý fyzický faktový provable v matematické fyzice je už provable od systému Fielda), tak že matematika je spolehlivý postup jehož fyzické aplikace jsou všechny pravdivé, ačkoli jeho vlastní sdělení jsou nepravdivá. Tak, když dělá matematiku, my můžeme vidět sebe jako vyprávění druh příběhu, mluvit jak jestliže čísla existovala. Pro Fielda, sdělení jako “2 + 2 = 4” je spravedlivý jak falešný jak “Sherlock Holmes žil u 221B Baker ulice” — ale oba jsou pravdiví podle významných výmyslů.

Tímto účtem, nejsou tam žádné metafyzické nebo epistemological problémy zvláštní pro matematiku. Jediné starosti vlevo jsou obecné starosti o non-matematická fyzika, a o beletrie obecně. Přístup pole byl velmi vlivný, ale je široce odmítnut. Toto je z části protože požadavku silných fragmentů sekunda-objednávat logiku uskutečnit jeho redukci, a protože prohlášení conservativity vypadá, že vyžaduje počítání přes abstraktní modely nebo odečtení. Další námitka je že to není jasné jak jeden mohl mít jisté výsledky ve vědě, takový jako kvantová teorie nebo periodická tabulka, bez matematiky. Jestliže co rozezná jeden prvek od jiného je přesně množství elektronů, neutronů a protonů, jak jeden rozlišuje mezi elementy bez představy o čísle?^{[původní výzkum?]}

Ztělesněné myšlenkové teorie

Ztělesněné myšlenkové teorie si myslí, že matematická myšlenka je přirozený následek lidského poznávacího aparátu, který se skončí v našem fyzickém vesmíru. Například, abstraktní představa čísla pramení ze zkušenosti počítání jednotlivé objekty. To je si myslel, že matematika není univerzální a neexistuje v nějakém skutečném smyslu, jiný než v lidských mozkách. Pojem lidí, ale nezjistí, matematika.

S tímto pohledem, fyzický vesmír může tak být viděn jako konečné založení matematiky: to řídilo vývoj mozku a později určovalo které otázky tento mozek by našel úctyhodného člověka vyšetřování. Nicméně, lidská mysl má žádný zvláštní požadavek na realitu nebo přístupy k tomu se budovaly ven matematiky. Jestliže takové pojmy jako Eulerova identita jsou pravdivé pak oni jsou pravdiví jako mapa lidského rozumu a poznání.

Ztělesnění myšlenkoví teoretici tak vysvětlí účinnost matematiky — matematika byla postavena mozkem aby byl účinný v tomto vesmíru.

Nejdostupnější, slavný, a neslavná léčba tohoto pohledu je Kde matematika přijde z, George Lakoff a Rafael E. Núñez. Navíc, matematik Keith Devlin vyšetřoval podobná pojetí se jeho knihou Instinkt matematiky. Pro více na filozofických nápadech, které inspirovaly tento pohled, vidět poznávací věda matematiky.

Sociální constructivism nebo sociální realismus

Společenský constructivism nebo společenský teorie realismu vidí matematiku primárně jako sociální pojem jak produkt kultury, podřízeného opravě a změny. Jako jiné vědy, matematika je viděna jako empirická snaha jehož výsledky jsou stále oceněné a smějí být vyřazen. Nicméně, zatímco na empiricist výstavu ohodnocení je nějaký druh srovnání s “realitou”, sociální constructivists zdůrazní, že směr matematického výzkumu je nařízen módama sociální skupiny vykonávat to nebo potřebami společnosti financovat to. Nicméně, ačkoli takové vnější síly mohou změnit směr nějakého matematického výzkumu, tam jsou silná vnitřní omezení — matematické tradice, metody, problémy, významy a hodnoty do kterých matematiků enculturated — ta práce udržovat historicky definovanou disciplínu.

Toto provozuje protipól pro tradiční víry pracovních matematiků, ta matematika je nějak čistá nebo objektivní. Ale sociální constructivists argumentují, že matematika je ve skutečnosti zakotvený hodně nejistoty: jak matematická praxe se vyvine, stav předchozí matematiky je obsazen do pochybnosti, a je opraven do stupně to je požadované nebo požadované aktuální matematickou komunitou. Toto může být viděno ve vývoji analýzy od reexamination počtu Leibniz a Newton. Oni argumentují dále ta dokončená matematika je často se shodl přespříliš stav, a lidová matematika ne dost, náležitý k přes-důraz na axiomatickém důkazu a kolegiální recenzi jako praxe. Nicméně, toto by mohlo být viděno jak pouze říkat, že pečlivě dokázané výsledky jsou přehnaně zdůrazněné, a pak “dívat se jak chaotický a nejistý zbytek toho všichni je!”

Sociální povaha matematiky je zvýrazněná v jeho subcultures. Hlavní objevy mohou být vyrobeny v jednom odvětví matematiky a být významné pro jiného, přesto vztah jde neobjevený pro nedostatek sociálního kontaktu mezi matematiky. Sociální constructivists argumentují každá zvláštnost tvoří jeho vlastní epistemic společenství a často má velkou potíž komunikovat, nebo motivovat vyšetřování unifikovat dohady, které by mohly líčit odlišné oblasti matematiky. Sociální constructivists vidí proces “dělající matematiky” jak vlastně vytvářet význam, zatímco sociální realisti vidí nedostatek jeden lidské schopnosti k abstractify, nebo lidské poznávací zaujatosti, nebo s matematickou kolektivní inteligencí jak předcházet chápání skutečného vesmíru matematických objektů. Sociální constructivists někdy odmítají hledání založení matematiky jak skáčou k selhání, jak nesmyslný nebo dokonce bezvýznamný. Někteří sociologové také argumentují, že matematika není skutečná nebo objektivní vůbec, ale je postižený rasismem a ethnocentrism. Někteří těchto nápadů být blízký postmodernismu.

Příspěvky k této škole byly vyrobeny Imre Lakatos a Thomas Tymoczko, ačkoli to není jasné, že jeden by souhlasil s titulem. Více nedávno Paul Ernest má výslovně formuloval společenskou constructivist filozofii matematiky. Někteří zvažují práci Paula Erdős jako celek k podporovali tento názor (ačkoli on osobně odmítl to) protože jeho jedinečně širokých spoluprácí, který podnítil jiné vidět a studovat “matematiku jako společenská aktivita”, např., přes Erdős číslo. Reuben Hersh také podporoval sociální pohled na matematiku, volat to “humanistic” přístup, podobný k ale ne docela stejný jak to se sdružilo s Alvinem Whiteem; jeden z Hershových spoluautorů, Philip J. Davis, vyjádřil soucit pro sociální pohled také.

Kritika tohoto přístupu je že to je triviální, založený na triviálním postřehu, že matematika je lidská aktivita. Poznamenat, že pečlivý důkaz přijde jen po dohadu unrigorous, experimentování a spekulování je pravdivý, ale to je triviální a nikdo by popíral toto. Tak to je kousek rozlohy charakterizovat filozofii matematiky v této cestě, na něčem trivially pravdivý. Počet Leibniz a Newton byl reexamined matematiky takový jako Weierstrass aby pečlivě dokázat věty thereof. Tam je nic zvláštní nebo zajímavé o tomto, jak to zapadne s více obecným trendem nápadů unrigorous, které jsou později vyrobené pečlivý. Tam potřebuje být jasné rozlišení mezi předměty studia matematiky a studium předmětů studia matematiky. Bývalý nevypadá, že mění skvělou dohodu; latter je navždy v neustálé změně. Latter je co Social teorie je o, a bývalý je jaký Platonism al et. být o.

Nicméně, tato kritika je odmítnuta zastánci společenského constructivist pohledu, protože to postrádá smysl že samé předměty matematiky jsou sociální pojmy. Tyto objekty, to tvrdí, jsou primárně semiotic objekty existování ve sféře lidské kultury, udržovaný sociálními praxemi (po Wittgenstein) to využít fyzicky ztělesněná znamení a dát svah intrapersonal (duševní) pojmy. Sociální constructivists si prohlížejí reification okruhu lidské kultury do platonické oblasti nebo nějakého jiného nebe-jako doména existence za hmotným světem, dlouhé trvání chyba kategorie.

Za tradičními školami

Spíše než zájem o úzké debaty o skutečných vlastnostech matematický pravda, nebo dokonce na praxích jedinečných pro matematiky takový jak důkaz, rostoucí posun od šedesátých lét k devadesátým létům začal ptát se myšlenky na základy hledání nebo najití nějaké jedné pravé odpovědi k proč matematika pracuje. Výchozí prostor pro toto byl Eugene Wigner' s slavný 1960 papíru Nesmyslná účinnost matematiky v přírodních vědách, ve kterém on argumentoval, že šťastná náhoda matematiky a bytí fyziky tak dobře si odpovídali vypadal, že je nesmyslný a tvrdý vysvětlit to.

Ztělesněný-mysl nebo poznávací škola a sociální škola byli odezvy na tuto výzvu, ale debaty zvýšily šel nesnadno omezit k těm.

Kvazi-empirismus

Jedno paralelní znepokojení, které dělá ne vlastně napadat školy přímo ale místo toho ptá se jejich fokusu je pojem kvazi-empirismus v matematice. Toto rostlo od zvýšeně populárního tvrzení v pozdní 20. století že žádné založení matematiky mohlo být vždy dokázané existovat. To je také někdy nazýváno “postmodernismem v matematice”, ačkoli ten termín je zvažován přetížený někteří a urážlivý ostatními. Kvazi-empirismus se dohaduje o tom v provádění jejich výzkumu, matematici testují hypotézy také jako dokázání vět. Matematický argument může přenášet faleš ze závěru k areálu právě také, zatímco to může přenášet pravdu z areálu k závěru. Kvazi-empirismus byl vyvinut Imre Lakatos, inspirovaný filozofií vědy Karla Popper.

Lakatos filozofie matematiky je někdy považována za druh sociálního constructivism, ale toto nebylo jeho záměr.

Takové metody vždy byly část matematiky lidu kterými velikými činy vypočítavosti a měření jsou někdy dosáhl. Opravdu, takové metody mohou být jediné ponětí o důkazu kultura má.

Hilary Putnam argumentoval, že nějaká teorie matematického realismu by obsahovala kvazi-empirické metody. On navrhoval to cizí druh dělat matematika by mohla dobře spoléhat se na kvazi-empirické metody primárně, být ochotný často zřeknout se pečlivých a axiomatických důkazů, a ještě být dělat matematiku — u možná poněkud větší riziko nedostatku jejich výpočtů. On dával detailní argument pro toto v nových směrech (ed. Tymockzo, 1998).

Sjednocení

Nemnoho filozofů je schopné proniknout matematické zápisy a kulturu líčit konvenční ponětí o metafyzice k specializovanějším metafyzickým ponětím o školách nahoře. Toto může vést k přerušení ve kterém někteří matematici pokračují tvrdit zdiskreditovanou filozofii jako ospravedlnění pro jejich pokračující víru ve světový názor podporovat jejich práci.

Ačkoli sociální teorie a kvazi-empirismus, a obzvláště ztělesněná myšlenková teorie, zaostřili více pozornosti na epistemologii implikované aktuálními matematickými praxemi, oni padají daleko krátký vlastně líčit toto k obyčejnému lidskému vnímání a každodenním chápáním znalostí.

Jazyk

Inovace ve filozofii jazyka během 20. staletého obnoveného zájmu v zda matematika je, jak jestliže často říkal, jazyk vědy. Ačkoli nejvíce matematici a fyzici (a mnoho filozofů) by přijímal sdělení “matematika je jazyk”, lingvisté věří tomu implikace takový sdělení musí být zvažováno. Například, nástroje lingvistiky nejsou obecně aplikovány na symbolové systémy matematiky, to je, matematika je studována ve zřetelně různé cestě než jiné jazyky. Jestliže matematika je jazyk, to je různý druh jazyka než přirozené jazyky. Opravdu, protože potřeby jasnosti a přesnosti, jazyk matematiky je daleko omezenější než přirozené jazyky zkoumané lingvisty. Nicméně, metody vyvinuté Frege a Tarski pro studium matematického jazyka byli prodloužení velmi Tarski studentem Richard Montague a jiné pracování lingvistů ve formální sémantice ukázat, že rozdíl mezi matematickým jazykem a přirozeným jazykem nemůže být jak velký jak to zdá se.

Viz též filozofie jazyka.

Estetika

Mnoho praktických matematiků bylo natažené k jejich předmětu, protože smyslu pro krásu oni si povšimnou v tom. Jeden někdy slyší pocit, že matematici by rádi zanechali filozofii filozofům a dostali se zpátky do matematiky — kde, pravděpodobně, krása leží.

V jeho práci na božské proporci, H. E. Huntley líčí pocit četby a porozumění někdo jinde je důkaz teoréma matematiky k tomu diváka mistrovského díla umění — čtenář důkazu má podobný smysl pro veselost u pochopení jako originální autor důkazu, hodně jak, on argumentuje, divák mistrovského díla má smysl pro veselost podobnou malíři originálu nebo sochaře. Opravdu, jeden může studovat matematické a vědecké spisy jako literatura.

Philip J. Davis a Reuben Hersh poznamenal, že smysl pro matematickou krásu je univerzální mezi praktické matematiky. Způsobem příkladu, oni podají dva důkazy nerozumnosti? 2. První je tradiční důkaz rozporem, připsal Euclidovi; druhý více přímý důkaz zahrnuje základní teorém aritmetiky to, oni argumentují, se dostane do srdce záležitosti. Davis a Hersh argumentuje, že matematici najdou druhý důkaz více aesthetically apelovat protože to se přiblíží k povaze problému.

Paul Erdős byl pověstný jeho ponětím o hypotéze “kniha” obsahovat nejelegantnější nebo krásné matematické důkazy. Tam není univerzálie dohoda, že výsledek má jeden “nejelegantnější” důkaz; Gregory Chaitin namítal proti tomuto nápadu.

Filozofové někdy kritizovali matematický smysl pro krásu nebo eleganci jako bytí, přinejlepším, nejasně řečený. Stejně, nicméně, filozofové matematiky snažili se charakterizovat co dělá jeden důkaz více žádoucí než jiný když oba jsou logicky zdraví.

Další stránka estetiky ohledně matematiky je pohledy matematiků k možným použitím matematiky pro účely se domnívaly neetický nebo nepatřičný. Best-known výklad tohoto pohledu vyskytuje se v G.H. Hardy' s kniha Omluva matematika, ve kterém Hardy argumentuje, že čistá matematika je lepší v kráse k aplikovaná matematika přesně protože to nemůže být užité na válku a podobné konce. Někteří pozdnější matematici charakterizovali Hardyovy pohledy jak mírně se datovali^{[pochvalná zmínka potřebovala]}, s použitelností teorie čísel k současný kryptografie. Zatímco toto by nutilo Hardy měnit jeho primární příklad jestliže on byl psaní dnes, mnoho praktických matematiků ještě si předplatí Hardyovy obecné city.^{[pochvalná zmínka potřebovala]}

Matematika filozofie

Matematika filozofie je odvětví matematiky který, s matematickými metodami, pokouší se blížit se k filozofickým záležitostem.

Například, v utilitarism, jednotky měření volaly hedons a dolors mohou být použity ve vzorcích různé složitosti aby se dostal do čeho je nejlepší akce oddělat různé situace.

Viz též

Příbuzná témata

Přidružené práce

Historické náměty

Další četba

Londýn filozofie průvodce studia nabídne mnoho návrhů na čem číst, se spoléhat na studentskou obeznámenost s předmětem:

Colyvan, Mark (2004), “Indispensability argumenty ve filozofii matematiky”, Stanford encyklopedie filozofie, Edward N. Zalta (ed.), Eprint.
Davis, Philip J. a Hersh, Reuben (1981), Matematický zážitek, Knihy námořníka, New York, NY.
Devlin, Keith (2005), instinkt matematiky: Proč vy jste matematický génius (spolu s mořskými raky, ptáky, kočkami a psy), hrom je tisk úst, New York, NY.
Dummett, Michael (1991), Frege, filozofie matematiky, Harvard univerzitní tiskárna, Cambridge, Ma.
Dummett, Michael (1991 b), Frege a jiní filozofové, Oxford univerzitní tiskárna, Oxford, UK.
Dummett, Michael (1993), původy analytické filozofie, Harvard univerzitní tiskárna, Cambridge, Ma.
Ernest, Paul (1998), společenský Constructivism jako filozofie matematiky, státní univerzita New Yorku tisk, Albany, NY.
George, Alexandre (ed., 1994), matematika a mysl, Oxford univerzitní tiskárna, Oxford, UK.
Kline, Morris (1972), matematická myšlenka od starověký k moderní době, Oxford univerzitní tiskárna, New York, NY.
Lakoff, George, a Núñez, Rafael E. (2000), Kde matematika přijde z: Jak ztělesněná mysl přinese matematiku do bytí, Základní knihy, New York, NY.
Peirce, C.S., bibliografie.
Raymond, Eric S. (1993), “pomůcka matematiky”, Eprint.
Shapiro, Stewart (2000), myslet na matematiku: Filozofie matematiky, Oxford univerzitní tiskárna, Oxford, UK.

Odkazy

Aristotle, “Prior analytika”, Hugh Tredennick (trans.), pp. 181-531 v Aristotleovi, hlasitost 1, Loeb klasická knihovna, William Heinemann, Londýn, UK, 1938.
Audi, Robert (ed., 1999), Cambridge slovník filozofie, Cambridge univerzitní tiskárna, Cambridge, UK, 1995. 2. vydání, 1999. Citovaný jako CDP.
Benacerraf, Paul, a Putnam, Hilary (eds., 1983), filozofie matematiky, vybral četby, 1. vydání, Prentice-Hall, Englewood útesy, NJ, 1964. 2. vydání, Cambridge univerzitní tiskárna, Cambridge, UK, 1983.
Berkeley, George (1734), Analytik; nebo, projev adresovaný matematiku bezvěrce. Wherein to je zkoušeno zda Object, principy, a závěry moderní Analysis být více odlišně koncipovaný, nebo více zřetelně odvozený, než náboženská tajemství a body Faith, Londýn a Dublin. Online text, David R. Wilkins (ed.), Eprint.
Bourbaki, N. (1994), prvky historie matematiky, John Meldrum (trans.), Springer-Verlag, Berlín, Německo.
Carnap, Rudolf (1931), “umřít logizistische Grundlegung der Mathematik”, Erkenntnis 2, 91-121. Republished, “Logicist založení matematiky”, E. Putnam a G.J. Massey (trans.), v Benacerraf a Putnam (1964). Dotisknutý, pp. 41-52 v Benacerraf a Putnam (1983).
Chandrasekhar, Subrahmanyan (1987), pravda a krása. Estetika a Motivations ve vědě, univerzita Chicago tisku, Chicago, IL.
Hadamard, Jacques (1949), psychologie vynálezu na matematickém poli, 1. vydání, Princeton univerzitní tiskárna, Princeton, NJ. 2. vydání, 1949. Dotisknutý, Dover publikace, New York, NY, 1954.
Hardy, G.H. (1940), omluva matematika, 1st publikoval, 1940. Dotisknutý, C.P. balamutit (předmluvu), 1967. Dotisknutý, Cambridge univerzitní tiskárna, Cambridge, UK, 1992.
Hart, W.D. (ed., 1996), filozofie matematiky, Oxford univerzitní tiskárna, Oxford, UK.
Hendricks, Vincent F. a Hannes Leitgeb (eds.). Filozofie matematiky: 5 otázek, New York: Automatický tisk / VIP, 2006. [1]
Huntley, H.E. (1970), Divine proporce: Studium v matematické kráse, Dover publikace, New York, NY.
Klein, Jacob (1968), řecká matematická myšlenka a původ algebry, Eva Brannová (trans.), MIT tisk, Cambridge, Ma, 1968. Dotisknutý, Dover publikace, Mineola, NY, 1992.
Kline, Morris (1959), matematika a fyzický svět, společnost Thomase Y. Crowella, New York, NY, 1959. Dotisknutý, Dover publikace, Mineola, NY, 1981.
Kline, Morris (1972), matematická myšlenka od starověký k moderní době, Oxford univerzitní tiskárna, New York, NY.
König, Julius (Gyula) (1905), “Über zemřít jako Grundlagen der Mengenlehre und das Kontinuumproblem”, Mathematische Annalen 61, 156-160. Dotisknutý, “na založeních teorie množin a problému kontinua”, Stefan Bauer-Mengelberg (trans.), pp. 145-149 v Jean předvoji Heijenoort (ed., 1967).
Lakatos, Imre 1976 důkazy a argumenty: logika matematického objevu (Eds) J. Worrall a E. Zahar Cambridge univerzitní tiskárna
Lakatos, Imre 1978 matematiky, věda a epistemologie: Filozofický hlasitost dokladů 2 (Eds) J.Worrall a G.Currie Cambridge univerzitní tiskárna
Lakatos, Imre 1968 problémů ve filozofii matematického severního Holandska
Leibniz, G.W., logické doklady (1666-1690), G.H.R. Parkinson (ed., trans.), Oxford univerzitní tiskárna, Londýn, UK, 1966.
Mac Lane, Saunders (1998), Kategorie pro pracovního matematika, 1. vydání, Springer-Verlag, New York, NY, 1971, 2. vydání, Springer-Verlag, New York, NY.
Maddy, Penelope (1990), realismus v matematice, Oxford univerzitní tiskárna, Oxford, UK.
Maddy, Penelope (1997), naturalismus v matematice, Oxford univerzitní tiskárna, Oxford, UK.
Maziarz, Edward A., a Greenwood, Thomas (1995), řecká matematická filozofie, Barnes a Noble Books.
Mount, Matthew, Klasický řecká matematická filozofie,^{[pochvalná zmínka potřebovala]}.
Peirce, Benjamin (1870), “lineární asociativní algebra”, § 1. Vidět americký žurnál matematiky 4 (1881).
Peirce, C.S., sbíral papíry Charlesa Sanders Peirce, vols. 1-6, Charles Hartshorne a Paul Weiss (eds.), vols. 7-8, Arthur W. Burks (ed.), Harvard univerzitní tiskárna, Cambridge, Ma, 1931 – 1935, 1958. Citovaný jako CP (hlasitost). (odstavec).
Plato, “Republic, hlasitost 1”, Paul Shorey (trans.), pp. 1-535 v Platovi, hlasitost 5, Loeb klasická knihovna, William Heinemann, Londýn, UK, 1930.
Plato, “Republic, hlasitost 2”, Paul Shorey (trans.), pp. 1-521 v Platovi, hlasitost 6, Loeb klasická knihovna, William Heinemann, Londýn, UK, 1935.
Putnam, Hilary (1967), “matematika bez základů”, žurnál filozofie 64/1, 5-22. Dotisknutý, pp. 168-184 v W.D. Hart (ed., 1996).
Robinson, Gilbert de B. (1959), založení geometrie, univerzita Toronto tisk, Toronto, Canada, 1940, 1946, 1952, 4. vydání 1959.
Russell, Bertrand (1919), úvod do matematické filozofie, George Allen a Unwin, Londýn, UK. Dotisknutý, John G. Slater (intro.), Routledge, Londýn, UK, 1993.
Smullyan, Raymond M. (1993), rekurzivní teorie pro Metamathematics, Oxford univerzitní tiskárna, Oxford, UK.
Strohmeier, John, a Westbrook, Peter (1999), věštit harmonii, život a výuky Pythagoras, knihy Berkeleye Hillse, Berkeley, CA.
Styazhkin, N.I. (1969), historie formální logiky od Leibniz k Peano, MIT tisk, Cambridge, Ma.
Tait, William W. (1986), “pravda a důkaz: Platonism matematiky”, Synthese 69 (1986), 341-370. Dotisknutý, pp. 142-167 v W.D. Hart (ed., 1996).
Tarski, A. (1983), logika, sémantika, Metamathematics: Doklady od 1923 k 1938, J.H. Woodger (trans.), Oxford univerzitní tiskárna, Oxford, UK, 1956. 2. vydání, John Corcoran (ed.), Hackett vydávání, Indianapolis, v, 1983.
Tymoczko, Thomas (1998), nové směry ve filozofii matematiky, katalogový záznam?
Ulam, S.M. (1990), analogie mezi analogiemi: Matematické zprávy S.M. Ulam a jeho Los Alamos spolupracovníci, A.R. Bednarek a Françoise Ulam (eds.), univerzita Kalifornie tisku, Berkeley, CA.
dodávka Heijenoort, Jean (ed. 1967), od Frege To Gödel: Kniha zdroje ve formální logice, 1879-1931, Harvard univerzitní tiskárna, Cambridge, Ma.
Wigner, Eugene (1960),”Nesmyslná účinnost matematiky v přírodních vědách#rquote, Komunikace na čisté a aplikované matematice 13(1): 1-14. Eprint

Externí odkazy

R.B. Jonesova filozofie strany matematiky
Filozofie matematiky u otevřeného adresářového projektu
Filozofie skutečného matematického bloga
Filozofie matematiky vstup v Stanford encyklopedie filozofie Leon Horsten