Matematický důkaz

Matematický důkaz je způsob, jak ukázat, že teorém matematiky je pravdivý. Jeden musí ukázat, že teorie je pravdivá ve všech případech.

Tam jsou různé způsoby dokázání matematické věty.

Nepřehlédněte: Tato stránka obsahuje strojový překlad textu z anglické encyklopedie Wikipedia. Pokud budou některé pasáže špatně srozumitelné, zkuste se podívat i na text v originále, který najdete pod odkazem Mathematical proof. Překlad byl vytvořen pomocí překladače Eurotran.

Důkaz přerušením

Jeden druh důkazu je nazýván důkazem přerušením. Toto je obvykle používáno dokázat větu to je pravdivé pro všechna čísla. Tam jsou 4 kroky v důkazu přerušením.

1. Říkat, že důkaz bude přerušením, a říci kterého proměnná bude použita v kroku přerušení.

2. Dokažte, že sdělení je pravdivé pro nějaký začátečnický případ.

3. Převzít to pro nějakou hodnotu n = n₀ sdělení je pravdivé a má všechny vlastností vypsaných ve sdělení. Toto je voláno krok přerušení.

4. Ukázat, že sdělení je pravdivé pro příští hodnotu, n₀+ 1.

Jednou to je ukazováno, pak to znamená to pro nějakou hodnotu n to je vybíráno, ten příští je pravdivý. Protože to je pravdivé pro nějaký začátečnický případ (obvykle n = 1), pak to je pravdivé pro ten příští (n = 2). A protože to je pravdivé pro 2, to musí být pravdivé pro 3. A protože to je pravdivé pro 3, to musí být pravdivé pro 4, etc. Přerušení ukáže, že to je vždy pravdivé, přesně protože to je pravdivé pro kterákoliv následuje po nějakém daném počtu.

An příklad důkazu přerušením:

Se ukázat jako to pro všechna přirozená čísla n, 2 (1 + 2 + 3 +.... + n-1 + n) = n (n + 1)

Důkaz: Nejprve, sdělení může být psáno “pro všechna přirozená čísla n, 2 = n (n + 1) $\sum_{k=1}^n k$

Přerušením na n,

Nejprve, pro n = 1, 2 = 2 (1) = 1 (1 + 1), tak toto je pravdivé. $\sum_{k=1}^1 k$

Příští, převzít to pro některé n=n₀ sdělení je pravdivé. To je, 2 $\sum_{k=1}^{n_0} k$ = n₀(n₀+ 1)

Pak pro n=n₀+ 1, 2 $\sum_{k=1}^{{n_0}+1} k$ moci být přepsán 2 (n₀+ 1) + 2 $\sum_{k=1}^{n_0} k$

Protože 2 $\sum_{k=1}^{n_0} k$ = n₀(n₀+ 1), 2n₀+ 1 + 2 $\sum_{k=1}^{n_0} k$ = 2 (n₀+ 1) + 2n₀(n₀+ 1)

Tak 2 (n0 + 1) + 2n0 (n0 + 1) = 2 (n0 + 1) (n0 + 2)

Důkaz rozporem

Důkaz rozporem je způsob, jak dokázat matematickou větu tím, že ukazuje to jestliže sdělení je nepravdivé, tam je problém s logikou důkazu. To je, jestliže jeden z výsledků teoréma je převzat být nepravdivý, pak důkaz nepracuje.

Když dokáže větu způsobem rozporu, to je důležité si všimnout toho na začátku důkazu. Toto je obvykle zkrátil BWOC. Když protiklad se objeví v důkazu, tam je obvykle X vyrobený s 4 linkami místo toho 2 se umístil vedle té linky.

Jiné příklady důkazů

Se ukázat jako to x = - b ± (? b? - 4ac) / 2a od sekyry? + bx + c = 0

Rozdělovat kvadratickou rovnici

(který je dovolen protože je nenulový), dá:

nebo

Kvadratická rovnice je nyní ve formě ve kterém dokončovat čtverec moci být dělán. “dokončit čtverec” je zjistit nějaké množství k tak to

pro další číslo y. v objednávce těchto rovnic být pravdivý,

tak

Přidávat toto číslo k rovnici (1) dělá

Levá strana je nyní dokonalý čtverec protože

Pravá strana může být psána jako jediný zlomek, s 4a2 společného jmenovatele. Toto dá

Zapuštění čtvercového kořenu obou stran dá

Dostávat x sám dá