Axiomatická teorie množin
Teorie množin je odvětví matematiky a informatika vytvořila hlavně Němcem matematik Georg Cantor u konce 19. století. Zpočátku sporná, ustálená teorie přišla hrát roli foundational teorie v moderní matematice, ve smyslu pro teorii použil ospravedlnit předpoklady dělané v matematice ohledně existence matematických objektů (takový jako čísla nebo funkce) a jejich vlastnosti. Formální verze teorie množin také mají foundational roli ke hře jak specifikovat teoretický ideál matematické přísnosti v důkazech. Současně základní pojmy teorie množin jsou používány skrz matematiku, zatímco předmět je sledován v jeho vlastní pravý jako zvláštnost poměrně malou skupinou matematiků a logici. To by mělo být se zmínil, že tam jsou také matematici používat a podporovat různé přístupy k založením matematiky.
Základní pojmy teorie množin jsou soubor a členství. soubor je myšlenka jako nějaká sbírka objektů, volal členy (nebo elementy) souboru. V matematice, členové souborů jsou nějaké matematické objekty a ve zvláštní plechovce sám jsou soubory. Tak jeden mluví o souboru N přirozených čísel {0, 1, 2, 3, 4,...}, soubor reálných čísela souboru funkcí od přirozených čísel k přirozeným číslům; ale také, například, souboru {0, 2,N} který má jako členové čísla 0 a 2 a soubor N.
Zpočátku, co je nyní známé jak “naivní” nebo “intuitivní” teorie množin byla vyvinuta. (viz Naivní teorie množin). Jak to dopadalo, předpokládat, že jeden mohl vykonávat nějaké operace na souborech bez omezení vedeného k paradoxům takový jako Russellův paradox. To pustí se do těchto problémů, teorie množin musela být re-postavený, tentokrát používat axiomatický přístup.
Důležitá myšlenka na Cantora je, který dal se do souborového teoretického chodu jako nové pole studia, byl definovat dva soubory a B mít stejné množství členů (stejný mohutnost) když tam je způsob pára mimo členy podrobně se členy B. Pak soubor N přirozených čísel má stejnou mohutnost jako soubor Q racionálních čísel (oni jsou oba řekli, aby byl countably nekonečný), dokonce ačkoli N je vlastní podmnožina Q. Na druhé straně, soubor R reálných čísel nemá stejnou mohutnost jak N nebo Q, ale nějaký větší (to je řekl, aby byl uncountable). Cantor dal dva důkazy to R je ne počitatelný, a druhý tito, používat co je známý jako stavba úhlopříčky, byl vyjímečně vlivný a měl různá použití v logice a matematice.
Cantor šel správně dopředu a budoval nekonečné hierarchie nekonečných množin, pořadový a kardinální čísla. Toto bylo zvažováno sporný za jeho den, s opozicí vedenou finitist Leopold Kronecker, ale není tam žádný nezanedbatelný nesouhlas mezi matematiky dnes že Cantor měl správnou představu.
Cantorův vývoj teorie množin byl ještě “naïve” v pocitu, že on neměl přesný axiomatization v mysli. V retrospect, my můžeme říkat, že Cantor ticho používal axióm extensionality, axióm infinity, a schéma axióma (neomezeného) chápání. Nicméně, poslední těchto vedení přímo k Russellovu paradoxu, tím, že sestrojí soubor S : = { : je ne v } všech souborů, které nepatří k sobě. (jestliže S patří k sobě, pak to dělá ne, dávat rozpor, tak S muset ne patřit k sobě. Ale pak S muset patřit k sobě, dávat finále a absolutní rozpor.) proto, teoretici souboru byli nucení opouštět jednu klasickou logiku nebo neomezené chápání, a latter byl daleko rozumnější k nejvíce. (ačkoli intuitionism měly významné pokračování, paradox ještě projde se intuitionistic logikou. Není tam žádný paradox v Brazilské logice, ale to bylo téměř kompletně neznámo v době.)
V rozkazu se vyhnout tomuto a podobných paradoxech, Ernst Zermelo navrhnout systém axiómů pro teorii množin v 1908. On obsahoval v tomto systému axiom výběru, opravdově sporný axiom, že on potřeboval se ukázat jako dobře objednávající teorém. Tento systém byl později očištěný Adolf Fraenkel a Thoralf Skolem, dávat axiómy používaly dnes.
Axiómy pro teorii množin nyní nejvíce často studoval a používal, ačkoli vložil jejich konečný tvar Skolem, být volán Zermelo-Fraenkel axiómy (ZF). Vlastně, tento termín obvykle vyřadí axiom výběru, který byl jednou spornější než to je dnes. Když tento axióm je zahrnutý, výsledný systém je nazýván ZFC.
Důležitý rys ZFC je ten každý objekt že to zabývá se je soubor. Ve zvláštním, každém prvku souboru je sám soubor. Jiné známé matematické objekty, takový jako čísla, muset být následovně definovaný v podmínkách souborů.
Deset axiómů ZFC je níže uvedeno. (přísně mluvit, axiómy ZFC jsou jen řetězy logických symbolů. Co znamená should proto být viděn jediný jako pokus vyjádřit zamýšlený význam těchto axiómů v angličtině. Navíc, axióm oddělení, spolu s axiómem nahrazení, je vlastně nekonečné schéma axiómů, jeden pro každou rovnici.) každý axióm má další informace v jeho vlastním článku.
- Axióm extensionality: Dva soubory jsou stejné jestliže a jediný jestliže oni mají stejné elementy.
- Axióm prázdné množiny: Tam je soubor s žádnými elementy. My odkážeme použití {} označovat tuto prázdnou množinu.
- Axióm pára: Jestliže x, y jsou soubory, pak tak je {x,y}, soubor obsahovat x a y jako jeho jediné elementy.
- Axióm odboru: Pro nějaký soubor x, tam je soubor y takový to elementy y být přesně prvky elementů x.
- Axióm infinity: Tam existuje soubor x takový to {} je v x a kdykoli y je v x, tak je odbor y U {y}.
- Axióm oddělení (nebo axióm podmnožiny): Daný nějaký soubor a nějaký problém P (x), tam je podmnožina originálního souboru obsahovat přesně ty elementy x pro kterého P (x) držení.
- Axióm nahrazení: Daný nějaký soubor a nějaké mapování, formálně definovaný jako problém P (x,y) kde P (x,y) a P (x,z) implikuje y = z, tam soubor obsahuje přesně představy o originálních souborových elementech.
- Axióm elektrického souboru: Každý soubor má elektrický soubor. To je, pro nějaký soubor x tam existuje soubor y, takový to elementy y být přesně podmnožiny x.
- Axióm pravidelnosti (nebo axióm nadace): Každé non-prázdná množina x obsahuje nějaký element y takový to x a y disjoint soubory.
- Axiom výběru: (Zermelo verze) daný soubor x vzájemně disjoint nonempty soubory, tam je soubor y ( výběrový soubor pro x) obsahovat přesně jeden element od každého člena x.
Mnoho důležitých sdělení je nezávislé na ZFC. Nezávislost je obvykle dokázaná tím, že nutí, to je to je ukazováno to každý počitatelný tranzitivní model ZFC (plus, občas, velké hlavní axiómy) moci být rozšířen uspokojit sdělení v pochybnost, a (přes různou expanzi) jeho negace. Důkaz nezávislosti tím, že nutí automaticky se ukáže jako nezávislost od aritmetických sdělení, jiná sdělení betonu a velké hlavní axiómy. Některá sdělení nezávislá na ZFC mohou být dokázaná k držení zvláště vnitřní modely, takový jak ve vesmíru constructible. Nicméně, některá sdělení, která jsou pravdivá o constructible soubory jsou vyvráceny velkými hlavními axiómy.
Tady být některá sdělení jehož nezávislost je provable tím, že nutí:
- Hypotéza kontinua
- Diamond princip
- Suslin hypotéza
- Kurepa hypotéza
Constructible vesmír uspokojí zevšeobecnil hypotézu kontinua, princip Diamond a Kurepa hypotézu.
Základy teorie množin pro matematiku
To je často tvrdil, že axiomatická teorie množin je adekvátní základ pro proud matematická praxe, v pocitu, že v principu všechny důkazy podané matematickou komunitou mohly být psány formálně v termínech teorie množin. To je také obecně věřil, že žádná vážná výhoda by přišla z dělat to, v téměř všechny případy: axiomatické základy normálně používaly být dostatečně blízko se ztotožnil k základové teorii množin, ten plný axiomatický překlad vzdá se jen málo zvláštní, se vyrovnal argumentu v obvyklém, tradičním neoficiálním style. Jedna oblast kde mezera může objevit se mezi praxí a snadné formování je v teorii kategorie, kde například pojetí jako ' kategorie všech kategorií je vyžaduje více opatrného souboru-teoretické zacházení.
Od jeho založení, tam byli někteří matematici, kteří namítali proti používající teorii množin jako základ pro matematiku, prohlašovat, že to je jen hra, která zahrnuje prvky fantazie. Pozoruhodně, Henri Poincare říkal “teorie množin je nemoc od které matematiky jeden den se zotaví”, [si všimnout toho tato citace je část folklóru matematiky, ale to jde těžko najít originální citaci] a Errett biskup odmítl souborovou teorii jako matematika boha, který my bychom měli odejít do boha dělat.
Nejčastější námitka k teorii množin je založená na constructivist názoru, že, volně, matematika má něco potřebovat počítání. Viďte matematické constructivism. Na druhé straně toto není opravdu námitka k axiomatické teorii množin jak formální teorie. To je komentář o naivní teorii množin to je formováno, a jeho přiznání non-výpočetní elementy. Viz též