Schéma axióma nahrazení

V teorii množin, schéma axióma nahrazení je schéma axiómů v Zermelo-Fraenkel teorie množin, která tvrdí, že představa o nějakém souboru pod nějakým definovatelným mapováním je také soubor. To je nutné pro konstrukci jistých nekonečných množin v ZFC.

Schéma axióma je motivováno názorem, že zda třída je soubor závisí jen na mohutnosti třídy, ne na řadě jeho elementů. Tak, jestliže jedna třída je “malý dost” být soubor, a tam je bijection od té třídy k druhé třídě, axióm říká, že druhá třída je také soubor. Nicméně, protože ZFC jen mluví o souborech, ne pořádné třídy, schéma je řeknuto jen pro definovatelné bijections, který být identifikoval se s jejich rovnicemi vymezení.

Nepřehlédněte: Tato stránka obsahuje strojový překlad textu z anglické encyklopedie Wikipedia. Pokud budou některé pasáže špatně srozumitelné, zkuste se podívat i na text v originále, který najdete pod odkazem Axiom schema of replacement. Překlad byl vytvořen pomocí překladače Eurotran.

Sdělení

Předpokládat P je definovatelný binární vztah (který může být pořádná třída) takový to pro každý soubor x tam je jedinečný soubor y takový to P(x,y) držení. Tam je odpovídající definovatelná funkce F_P, kde F_P(X) = Y jestliže a jediný jestliže P(X,Y); F bude také být pořádná třída jestliže P je. Zvážit to (možná správný) prvotřídní B definovaný takový pro každý soubor y, y je v B jestliže a jediný jestliže tam je x v s F_P(x) = y. B je nazýván obrazem dolů F_P, a označil F_P() nebo (používání soubor-notace stavitele) {F_P(x) : x ? }.

Schéma axióma nahrazení řekne to jestliže F je definovatelná množinová funkce, jak je uvedeno výše, a je nějaký soubor pak obraz F () je také soubor. Toto může být viděno jako princip drobnosti: axióm řekne to jestliže je malý dost být soubor, pak F () je také malý dost být soubor. To je naznačeno silnějším axiómem limitace velikosti.

Protože to je nemožné počítat přes definovatelné funkce v nejprve-objednávat logiku, jeden příklad schématu je zahrnutý pro každou rovnici? v jazyce teorie množin s volnými proměnnými mezi w₁,..., w_n, , x, y; ale B je ne volný v?. Ve formálním jazyce teorie množin, schéma axióma je:

Schéma axióma sbírky

Schéma axióma sbírky je blízko příbuzné k a často zmatený se schématem axióma nahrazení. Zatímco nahrazení říká, že obraz sám je soubor, sbírka pouze říká, že nadtřída obrazu je soubor. Jinými slovy, výsledný soubor, B, je ne požadovaný být minimální.

Tato verze sbírky také postrádá požadavek jedinečnosti na?. Předpokládat, že volné proměnné? být mezi w₁,..., w_n, x, y; ale žádný ani B je volný v?. Pak schéma axióma je:

To je, vztah vymezil? je ne požadovaný být funkce — někteří x v smět odpovídat násobku y v B. v tomto případě, obraz zapadl B jehož existence je prohlašována muset obsahovat přinejmenším jeden takový y pro každého x originál zapadl, s žádnou zárukou, že to bude obsahovat jediný.

Schéma axióma je někdy řeknuto bez nějakých omezení predikátu,?:

V tomto případě, tam smět být elementy x v to být ne spojený k nějakým jiným souborům?. Nicméně, schéma axióma jak řečený vyžaduje to, jestliže element x je sdružil se s přinejmenším jeden zapadl y, pak obraz zapadl B bude obsahovat přinejmenším jeden takový y. výsledné axiómové schéma, také nazýval axióm schématem boundedness.

Schéma axióma sbírky spolu se schématem axióma oddělení implikovat schéma axióma nahrazení; zatímco schéma axióma nahrazení implikuje schéma axióma sbírky.

Aplikace příkladu

Řadová číslovka? · 2 =? +? (používat moderní definici naplánovanou von Neumanna) je první pořadový to nemůže být budováno bez nahrazení. Axióm nekonečna prohlašuje existenci nekonečné sekvence? = {0, 1, 2,...}, a jediný tento sled. Jeden by rád vymezil? · 2 být spojení sekvence {?,? + 1,? + 2,...}. Nicméně, libovolné třídy ordinals nemusí být soubory (třída celého ordinals není soubor, například). Nahrazení dovolí jednoho nahradit každé konečné číslo n v? s odpovídáním? + n, a garantuje, že tato třída je soubor. Poznamenat, že jeden může snadno budovat studnu-uspořádaná sada, která je isomorphic k? · 2 bez uchylovat se k nahrazení – prostě vzít disjoint spojení dvou kopií?, s druhou kopií větší než první, ale že toto není pořadový protože to není totálně spořádané zahrnutím.

Jasně pak, existence domácího cvičení pořadový ke každé studně-uspořádaná sada vyžaduje nahrazení také. Podobně von Neumann hlavní úkol, který přiřadí kardinální číslo ke každému souboru vyžaduje nahrazení, stejně jako axiom výběru.

Každý počitatelný limit pořadový vyžaduje nahrazení pro jeho analogously stavby k? · 2. Větší ordinals se spoléhají na nahrazení méně přímo. Například ω1, první uncountable pořadový, moci být budován takto – soubor počitatelné studny objedná existuje jako podmnožina P (N × N) oddělením a powerset (vztah na je podmnožina ×, a tak prvek síly zapadl P (×). Soubor vztahů je tak podmnožina P (× )). Nahradit každého dobře-uspořádaná sada s jeho pořadový. Toto je soubor počitatelného ordinals ω1, který může sám být ukazován být uncountable. Stavba používá nahrazení dvakrát; jakmile zajistit pořadové domácí cvičení pro každého dobře objednával soubor a znovu nahradit dobře spořádané soubory jejich ordinals. Toto je zvláštní případ výsledku Hartogs čísla a obecný případ může být dokázaný podobně.

Axiom výběru bez nahrazení (ZC teorie množin) není silná dost ukázat, že Borel soubory jsou určovány; pro toto, nahrazení je vyžadováno.

Historie a filozofie

Schéma axióma nahrazení nebylo díl Ernsta Zermelo má 1908 axiomatisation teorie množin (Z); jeho úvod Adolf Fraenkel v 1922 je co dělá moderní teorii množin Zermelo-Fraenkel dal teorii (ZF). Axióm byl samostatně objeven Thoralf Skolem později ve stejném roku. Ačkoli to je Skolem konečná verze seznamu axióma, který my používáme dnes, on obvykle dostane žádnou zásluhu od každého jednotlivce axióm byl vyvinut dříve jeden Zermelo nebo Fraenkel.

Schéma axióma nahrazení drasticky zvětší sílu ZF, oba v podmínkách teorémů to může ukázat se jako a v termínech jeho důkaz-teoretický síla hustoty, vyrovnal se Z. zvláště, ZF dokáže hustota Z, jako soubor V_ω² je model Z constructible v ZF. (Gödel je druhý incompleteness teorém ukazuje to žádný tyto teorie mohou ukázat se jako jeho vlastní hustota, jestliže to je shodné.) kardinální číslo $\aleph_\omega$ je první jeden který může být ukazován existovat v ZF ale ne v Z.

Schéma axióma nahrazení není nutné pro korektury většiny teorémů obyčejné matematiky. Opravdu, Zermelo teorie množin už může vyložit sekundu-objednávat aritmetiku a hodně z teorie typu v konečných typech, který podle pořadí být dostatečný formovat velikost matematiky. Pozoruhodný matematický teorém, který žádá axióm od nahrazení být dokázaný v ZF je Borel determinacy teorém.

Axióm nahrazení přece má důležitou roli ve studiu teorie množin sám. Například, schéma nahrazení je potřeboval postavit von Neumann ordinals od? · 2 kupředu směřující; bez nahrazení, to by bylo nutné najít nějakou jinou reprezentaci pro řadové číslovky.

Ačkoli schéma axióma nahrazení je standardní axióm v teorii množin dnes, to je často vynecháno od systémů teorie typu a systémů založení v teorii topos.

Vztah ke schématu axióma specifikace

Schéma axióma specifikace, jiné axiómové schéma v ZFC, je naznačen schématem axióma nahrazení a axiómem prázdné množiny. Si vzpomínat, že schéma axióma specifikace obsahuje

pro každou rovnici? v jazyce teorie množin se jednou volnou proměnnou, která nezmíní se o B.

Důkaz je takto. Začít rovnicí? (C) to nezmíní se o B, a soubor A. jestliže žádný element E uspokojí? pak soubor B požadovaný významným příkladem axióma schéma oddělení je prázdná množina. Jinak, si vybrat fixovaný E v takový to? (E) držení. Určit prvotřídní funkci F takový to F (D) = D jestliže? (D) držení a F (D) = E jestliže P (D) je falešný. Pak soubor B = F () existuje, axiómem nahrazení, a je přesně soubor B požadovaný pro axióm specifikace.

Tento výsledek ukáže, že to je možné axiomatize ZFC s jedním nekonečným axiómovým schématem. Protože přinejmenším jedno takové nekonečné schéma je vyžadováno (ZFC finitely axiomatizable), toto ukáže, že schéma axióma nahrazení může kandidovat jako jediné nekonečné axiómové schéma v ZFC jestliže požadovaný. Protože schéma axióma specifikace není nezávislé, to je někdy vynecháno od současných prohlášení Zermelo-Fraenkel axiómy.

Specifikace je ještě důležitá, nicméně, pro použití ve fragmentech ZFC, protože historických uvažování, a pro srovnání s alternativními axiomatizations teorie množin. Formulace teorie množin to nezahrnuje axióm vůle nahrazení pravděpodobně zahrnovat nějakou formu axióma specifikace, zajistit, že jeho modely obsahují velkou sbírku souborů. Ve studiu modelů teorie množin, to je někdy užitečné zvažovat modely ZFC bez nahrazení.

Důkaz nahoře používá právo vyloučeného středa v předpokládat, že jestliže nonempty pak to musí obsahovat element (v logice intuitionistic, soubor je “prázdný” jestliže to neobsahuje element a “nonempty” je formální popření tohoto, který je slabší než “laně obsahují element”). Axióm specifikace je zahrnut v intuitionistic teorii množin.

Odkazy

Paul Halmos, naivní teorie množin. Princeton, NJ: D. Van Nostrand společnost, 1960. Dotisknutý Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag vydání).
Jech, Thomas, 2003. Teorie množin: Třetí vydání tisíciletí, revidoval a expandoval. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
Kunen, Kenneth, 1980. Teorie množin: Úvod k důkazům nezávislosti. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.